Grundlagen der Regelungstechnik

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Hier werden die wichtigsten Grundlagen der Regelungstechnik erläutert. Diese werden für die Ausführung zum Thema C-Implementierung einer PID-Roboter-Regelung benötigt.

Inhaltsverzeichnis

1 Steuerung
2 Regelung
- 2.1 Regelung in der Natur
3 Laplace-Transformation
4 Modellbildung
- 4.1 Lineare und nichtlineare Systeme
5 kontinuierliche oder diskrete Arbeitsweise
6 Stabilität
- 6.1 Hurwitz-Kriterium
7 Stationäres Verhalten
- 7.1 Beispiel
8 Literaturverzeichnis

1 Steuerung

Die Steuerung eines technischen Systems übernimmt die Aufgabe einen physikalischen Zielwert zu erreichen. Dies lässt sich einfach anhand des Beispiels einer Heizung erläutern.

Grundaufbau einer Steuerung ^[1].

Raumtemperatur mit einer Steuerung.

Die Raumtemperatur soll 22° Celsius erreichen. Das Steuergerät wird auf diesen Wert eingestellt. Es öffnet das Ventil (Stellglied) des Heizkörpers und das Heizwasser fließt ein. Der Heizkörper gibt Wärme ab (Prozess) und die Raumtemperatur ändert sich auf die eingestellte Temperatur.

In der Abbildung Grundaufbau einer Steuerung ist sichtbar, wie die Glieder der Steuerung kettenförmig aneinander gereiht werden. Die Ausgangsgröße $x a (t)$ wird in Abhängigkeit von der Eingangsgröße $x e (t)$ mit Hilfe der Steuergesetze über das Steuergerät beeinflusst. Die Stellgrößen $u S t e u$ und $u$ werden aus Gründen der Vereinfachung nicht näher erläutert. Da es sich um einen offenen Wirkungsablauf handelt, kann die Störgröße $Z$ nicht beseitigt werden ^[1].

Der Temperaturverlauf wird in Abbildung Raumtemperatur mit einer Steuerung gezeigt. Die Daten sind beispielhaft gewählt und dienen der Veranschaulichung einer Steuerung. Die Raumtemperatur nimmt anfangs die eingestellte Größe an. Tritt eine Störung auf, zum Beispiel durch Öffnen eines Fensters, reagiert die Steuerung nicht. Es erfolgt keine Rückmeldung an das Steuergerät. Solange die Störung vorhanden ist, wird die eingestellte Temperatur nicht wieder erreicht.

2 Regelung

Im Gegensatz zur Steuerung handelt es sich bei einer Regelung um einen geschlossenen Wirkungskreislauf. Wie bei der Steuerung soll die Regelung die Aufgabe übernehmen, einen physikalischen Zielwert in einem technischen System zu erreichen. Kennzeichnend für eine Regelung ist die Rückkopplung der Regelgröße $y (t)$ und die Berechnung der Regeldifferenz $e (t)$ . Der hier entstandene Wirkungskreislauf wird darum "Regelungskreis" genannt ^[1].

Grundaufbau einer Regelung ^[1].

Raumtemperatur mit einer Regelung.

Die Hauptaufgabe des Regelungskreises besteht darin, den physikalischen Zielwert trotz auftretender Störungen konstant zu halten.

In Abbildung Grundaufbau einer Regelung ist der einfach aufgebaute Regelungskreis beispielhaft beschrieben. Der Raum soll auf 22° Celsius erwärmt werden. Die gewünschte Temperatur $w (t)$ wird eingestellt. Der Sensor meldet die aktuelle Temperatur $y (t)$ . Die Differenz

e (t) = w (t) - y (t)

wird dem Regler mitgeteilt. Dieser berechnet das Stellsignal $u R (t)$ und das Stellglied (Ventil) ändert die Stellgröße (Heizwasserdurchfluss) $u (t)$ an der Regelstrecke (Heizung). Somit wird der Wärmefluss angepasst. Tritt eine Störung $z (t)$ auf, so kann der Regler aufgrund des Informationsrückflusses über den Sensor das Stellsignal anpassen und über den weiteren Wirkungsablauf die Störung ausgleichen ^[2].

Die Temperaturentwicklung des Raumes bei einer Regelung ist in Abbildung Raumtemperatur mit einer Regelung abgebildet. Die Daten sind willkürlich gewählt und dienen zur Veranschaulichung. Die Raumtemperatur wird anfangs auf die eingestellte Größe geregelt. Sobald eine Störung auftritt, kann die Regelung darauf reagieren. Das dynamische Verhalten (Störverhalten) der Regelgröße wird angepasst und in ein stationäres Verhalten überführt. Es wird stets die gewünschte Temperatur erreicht.

2.1 Regelung in der Natur

Auch in der Natur finden Regelungsprozesse statt, die in Struktur und Wirkungsweise mit einer technischen Regelung vergleichbar sind.

Als Beispiel folgt die Temperaturregelung beim Menschen:

Regelung der Hauttemperatur ^[3].

In Abbildung Regelung der Hauttemperatur wird der Regelungskreis der Hauttemperatur dargestellt. Die Haut ist das größte menschliche Organ. Das Beispiel ist stark vereinfacht, da die Regelung der Hauttemperatur mit der Regelung der Körpertemperatur (Innentemperatur) zusammenhängt. Die Begriffe der Regelungstechnik werden folgendermaßen zugeordnet: Regelstrecke ist die Haut, Regelgröße die Hauttemperatur, Störgröße vor allem die Außentemperatur. Weitere Störgrößen wie Fieber können auftreten. Der Istwert der Regelgröße wird durch Nervenorgane aufgenommen. Diese Kälte- und Wärmerezeptoren wirken als Temperaturfühler und stellen die Messeinrichtung des Regelungskreises dar.

Die Regelung der Hauttemperatur zeigt die Vergleichbarkeit der natürlichen und der technischen Regelung ^[3].

3 Laplace-Transformation

Der Laplace-Transformation wurde eine eigene Seite gewidmet und kann unter diesem Link gefunden werden.

4 Modellbildung

Mit Hilfe eines mathematischen Modells können bei Regelsystemen physikalische und logische Gesetzmäßigkeiten analytisch erfasst oder bestimmt werden. Die vorhandenen Systemeigenschaften bestimmen die Form des Modells: Es finden algebraische, logische oder Differenzialgleichungen Anwendung. Allgemein stellen derartige Systemmodelle die Basis für die Analyse und Synthese von Regelungsprozessen dar. Eine Simulation solcher Prozesse ermöglicht das Testen verschiedenartiger Situationen und Betriebsfälle, die im realen Prozess kaum oder nur mit erheblichem Aufwand überprüft werden können. Das reale Verhalten eines Systems kann in abstrahierter Form durch ein Modell vereinfacht, aber trotzdem ausreichend beschrieben werden ^[2].

4.1 Lineare und nichtlineare Systeme

Entscheidend für die Berechnung eines Reglers ist das Linearitätskriterium. Ein lineares System bezeichnet ein System linearer Gleichungen, gewöhnlicher Differentialgleichungen oder einfache funktionale Zusammenhänge. Besonders leicht lässt sich ein LTI(Linear Time-Invariant)-System berechnen.

Ein lineares zeitkontinuierliches System ist dadurch gekennzeichnet, dass es die folgende mathematische Beschreibung hat:

$\begin{align} \bar{f}(\bar{x},\bar{u},t) &= \bar{A}(t,\bar{x},\bar{u})~\\ \bar{g}(\bar{x},\bar{u},t) &= \bar{C}(t,\bar{x},\bar{u}) \end{align}$

Für $\bar f$ und $\bar g$ gilt:

$\begin{align} \bar{f}(\bar{x},\bar{u},t) &= \bar{A}(t)\bar{x}+\bar{B}(t)\bar{u}~\\ \bar{g}(\bar{x},\bar{u},t) &= \bar{C}(t)\bar{x}+\bar{D}(t)\bar{u} \end{align}$

Dabei ist $\bar{x}$ der innere Zustand, $\bar{u}$ der äußere Einfluss, $\bar{A}$ die Systemmatrix ( $n \times n$ ), $\bar{B}$ die Eingabematrix, $\bar{C}$ die Ausgabematrix und $\bar{D}$ die Durchgangsmatrix ^[4].

Bei nichtlinearen Systemen wird die Berechnung wesentlich komplexer. Aus diesem Grund werden nichtlineare Systeme durch lineare Modelle angenähert. Dieser Schritt erfolgt unter der Bedingung, dass nur kleine Änderungen um einen Arbeitspunkt zugelassen werden. Liegt folgende Beschreibung vor

$\begin{align} \dot{\bar{x}}(t) &= \bar{A}\bar{x}(t)+\bar{b}f(u(t)),\\ y(t) &= \bar{c}^{T}\bar{x}(t), \end{align}$

so kann mit Einführung der Hilfsgröße

$\begin{align} v &\stackrel{def}{=}& f(u) \end{align}$

die neue lineare mathematische Beschreibung

$\begin{align} \dot{\bar{x}}(t) &= \bar{A}\bar{x}+\bar{b}v,\\ y &= \bar{c}^{T}\bar{x} \end{align}$

erhalten werden. In diesem Fall ist nur der Wertebereich der Funktion $f(\cdot)$ gültig. Liegt zum Beispiel die Funktion $f\left(u\right) = u^{2}$ vor, ist die lineare Zustandsgleichung nur für $v \ge 0$ gültig ^[4].

5 kontinuierliche oder diskrete Arbeitsweise

In der Regelungstechnik werden die kontinuierliche und die diskrete Arbeitsweise unterschieden. Liegt ein Eingangs- oder Ausgangssignal zu jedem beliebigen Zeitpunkt vor, so wird dies als kontinuierlicher Signalverlauf bezeichnet. Eingangs- und Ausgangssignal sind stetig in Grenzen veränderbar.

Können aber nur gewisse diskrete Amplitudenwerte angenommen werden, dann handelt es sich um ein quantisiertes Signal.

Wenn der Wert nur zu bestimmten diskreten Zeitpunkten bekannt ist, handelt es sich um ein (zeit)diskretes Signal.

Falls die Signalwerte zu Zeitpunkten mit dem Intervall T ermittelt werden können, so liegt ein Abtastsignal mit der Abtastperiode T vor. Diese Systeme werden auch als Abtastsysteme bezeichnet. Alle Regelsysteme, die sich eines Digitalrechners bedienen, können nur diese zeitdiskreten quantisierten Signale verarbeiten ^[2].

6 Stabilität

Beispiel einer stabilen Regelung

Beispiel einer instabilen Regelung

Voraussetzung für die Brauchbarkeit eines Regelungssystems ist dessen Stabilität. Unter der Stabilität eines Regelungssystems wird die Eigenschaft verstanden, dass ein System bei einer beschränkten Eingangsgröße mit einer ebenfalls beschränkten Ausgangsgröße antwortet. Im Regelungskreis muss sichergestellt sein, dass die Regelgröße $y (t)$ stabil verläuft, das heißt, sich aperiodisch oder periodisch gedämpft der Führungsgröße nähert. Durch eine fehlerhafte Wahl der Einstellungskonstanten (zum Beispiel: $K_{R},\;K_{I},\;K_{D}$ ) des Reglers kann sich die Regelgröße $y (t)$ aufschwingen und unbeschränkt anwachsen (Abbildung Beispiel einer instabilen Regelung). Das System ist somit instabil ^[1].

Zur Überprüfung der Stabilität gibt es verschiedene Kriterien. Zwei Möglichkeiten sollen an dieser Stelle genannt werden: Das Nyquist-Kriterium wird für den geschlossenen Regelungskreis verwendet und das Hurwitz-Kriterium für den offenen Regelungskreis.

Offener und geschlossener Regelungskreis.

Beim offenen Regelungskreis wird nur der Regler inklusive des Stellglieds und die Regelstrecke verwendet. Im Gegensatz hierzu muss beim geschlossenen Regelungskreis zusätzlich die Rückführung über den Sensor beachtet werden. Für die Beschreibung des Nyquist-Kriteriums wird auf die Literatur verwiesen (^[3], ^[2] und ^[1]). Auf das Hurwitz-Kriterium wird im folgenden kurz eingegangen.

6.1 Hurwitz-Kriterium

Zur Berechnung des Hurwitz-Kriteriums wird ein charakteristisches Polynom $Δ(s)$ der Übertragungsfunktion benötigt. Stellt sich das Polynom in der Form

$\Delta(s) = a_{n}s^{n} + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_{2}s^{2} + a_{1}s + a_{0} = 0$

dar, so wird die quadratische Hurwitz-Determinante $H n$ nach dem folgenden Schema gebildet werden:

$H_{n} = \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} & a_{n} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{n-5} & a_{n-4} & a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} & a_{n} & 0 \\ a_{n-7} & a_{n-6} & a_{n-5} & a_{n-4} & a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} \\ \cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_{0} \end{vmatrix} \qquad (n \times n)$

Das Übertragungssystem ist stabil, wenn sämtliche gebildeten Unterdeterminanten $H r$ der Hurwitz-Determinante $H n$ größer Null sind. Eine detaillierte Erläuterung wird im Buch "Regelungstechnik I" von Heinz Unbehauen aufgeführt ^[2].

Als Beispiel ist die folgende Übertragungsfunktion aufgeführt:

$\begin{align} T(s) &= \frac{Y(s)}{W(s)} = \frac{K_{I}(s +2)}{s^{4} + 12s^{3} + 44s^{2} + (49 + K_{I})s + 2K_{I}}\\~\\ \Delta (s) &= s^{4} + 12s^{3} + 44s^{2} + (49 + K_{I})s + 2K_{I} = 0 \end{align}$

Hieraus ergibt sich die Hurwitz-Determinante:

$H_{4} = \begin{vmatrix} 12 & 1 & 0 & 0\\ (49+K_{I}) & 44 & 12 & 1\\ 0 & 2K_{I} & (49+K_{I}) & 44\\ 0 & 0 & 0 & 2K_{I} \end{vmatrix}$

Die Unterdeterminanten werden wie folgt berechnet:

$\begin{align} H_{1} &= 12 > 0 \\ H_{2} &= 12\cdot 44 - (49+K_{I}) > 0 \quad \Rightarrow K_{I} < 479\\ H_{3} &= 12\left[ 44(49+K_{I})-2K_{I}12\right] -(49+K_{I})^{2} > 0 \\ & \Rightarrow K_{I}^{2} - 142 K_{I} - 23471 = 0\\ & \Rightarrow K_{I1} = 239,855~;~ K_{I2} = -97,855 \quad \Rightarrow K_{Ikritisch} = 239,855\\ H_{4} &= 2K_{I}H_{3} > 0 \quad \Rightarrow K_{I} > 0 \end{align}$

Das bedeutet ein stabiles Regelverhalten für $0\; <\; K_{I}\; <\; 239,855$ ^[1].

7 Stationäres Verhalten

Eine weitere wichtige Aufgabe des Regelungskreises besteht darin, dass sich die Regelgröße $y (t)$ trotz auftretender Störungen $z (t)$ der Führungsgröße $w (t)$ anpasst. Wird die Regelabweichung ausgeglichen, so wird dies stationäres Führungsverhalten genannt.

Zur Verdeutlichung wird das Führungsverhalten eines Regelungskreises mit Einheitsrückführung betrachtet. Der Einfachheit halber wird vorausgesetzt, dass keine Störgröße ( $Z (s) = 0$ ) auftritt. Daher kann die Übertragungsfunktion folgendermaßen dargestellt werden:

$G_0(s) = K_R(s) G_S(s)\;$

In der folgenden Abbildung wird die vereinfachte Form des Regelungskreises gezeigt.

Regelungskreis mit Einheitsrückführung ^[1].

Die Regeldifferenz wird durch die Gleichung

$E(s) = W(s) - Y(s)\;$

beschrieben. Durch Einsetzen des Ausgangssignals $Y (s)$ des geschlossenen Regelungskreises

$T(s) = \frac{Y(s)}{W(s)} = \frac{G_0(s)}{1+G_0(s)} \qquad \Rightarrow Y(s) = \frac{G_0(s)}{1+G_0(s)} W(s)$

in Gleichung $E (s) = W (s) - Y (s)$

$E(s) = \left[ 1 - \frac{G_0(s)}{1+G_0(s)} \right] W(s) = \left[ \frac{1 + G_0(s)-G_0(s)}{1+ G_0(s)} \right] W(s)$

mit der Führungsgröße $W(s) = \frac{1}{s}$ ergibt sich die Regelabweichung:

$E(s) = \frac{1}{1+G_0(s)}W(s)$

Daraus entsteht die bleibende Regelabweichung im Zeitbereich $e(\infty)$ für $t \rightarrow \infty$ auf Grund des Endwertsatzes:

$e(\infty) = \lim_{t \rightarrow \infty} e(t) = \lim_{s \rightarrow 0} E(s)s = \lim_{s \rightarrow 0} \frac{s}{1+G_0(s)}W(s)$

Grundlage dieser Darstellung waren Ausführungen in ^[2] und ^[1].

7.1 Beispiel

Beispiel eines Regelungskreises ^[1].

Die Regelabweichung des dargestellten Regelungskreises mit $K R = 100$ wird mit einer Sprungfunktion $w(t) = 5 \cdot 1(t)$ beaufschlagt.

Aus der Übertragungsfunktion

$G_0(s) = \frac{K_R(s+2)}{s^3 + 12 s^2 + 44s + 49}$

und der oben aufgeführten Gleichung wird die bleibende Regelabweichung bestimmt.

$e(\infty) = \lim_{t \rightarrow \infty} e(t) = \lim_{s \rightarrow 0} E(s)s = \lim_{s \rightarrow 0} \frac{s}{1+G_0(s)} \frac{5}{s} \approx \frac{5}{1+4,08} \approx 0,98$

In Abbildung Verlauf der Regelabweichung wird der Verlauf der Regelabweichung dargestellt ^[1]. Die bleibende Regelabweichung beträgt 0,98.

Verlauf der Regelabweichung ^[1].

8 Literaturverzeichnis

↑ ^1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 Berger, Manfred: Grundkurs der Regelungstechnik. Books on Demand GmbH, 2001. – ISBN 3-8311-0847-1
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 Unbehauen, Heinz: Regelungstechnik I. Friedr. Vieweg & Sohn Verlag, 1997 (9. Auﬂage). – ISBN 3-528-83332-7
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Föllinger, Otto: Regelungstechnik. Friedr. Vieweg & Sohn Verlag, 1994 (8. Auﬂage). – ISBN 3-7785-2336-8
↑ ^4,0 ^4,1 Ludyk, Günter: Theoretische Regelungstechnik 1. Springer Verlag, 1995. – ISBN 3-540-55041-0

[Berger-0] 1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 Berger, Manfred: Grundkurs der Regelungstechnik. Books on Demand GmbH, 2001. – ISBN 3-8311-0847-1

[Unbehauen-1] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 Unbehauen, Heinz: Regelungstechnik I. Friedr. Vieweg & Sohn Verlag, 1997 (9. Auﬂage). – ISBN 3-528-83332-7

[Foll-2] 3,0 ^3,1 ^3,2 Föllinger, Otto: Regelungstechnik. Friedr. Vieweg & Sohn Verlag, 1994 (8. Auﬂage). – ISBN 3-7785-2336-8

[Ludyk-3] 4,0 ^4,1 Ludyk, Günter: Theoretische Regelungstechnik 1. Springer Verlag, 1995. – ISBN 3-540-55041-0

[1]

[2]

[3]

[4]