Grundlagen der Regelungstechnik/LTI-System

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1 LTI-System

Lineares Übertragungssystem
Lineares Übertragungssystem [1]

Das dynamische Verhalten eines LTI-Systems kann durch die folgende lineare, kontinuierliche, zeitinvariante Differenzialgleichung mathematisch beschrieben werden:

a_{n}\stackrel{(n)}{x_{a}}(t) + \cdots + a_{2}\ddot{x}_{a}(t) + a_{1}\dot{x}_{a}(t) + a_{0}x_{a}(t) = b_{0}x_{e}(t) + b_{1}\dot{x}_{e}(t) + \cdots + b_{m}\stackrel{(m)}{x_{e}}(t)

Darin sind xe(t) das Eingangssignal und xa(t) das Ausgangssignal. Durch diese Modellbildung werden vorwiegend verkoppelte Sätze von Differenzialgleichungen erster und zweiter Ordnung gebildet. Unter der Voraussetzung, dass alle Anfangsbedingungen gleich Null sind, kann mit Hilfe des Differenziationssatzes die transformierte Differenzialgleichung im Bildbereich wie folgt erstellt werden:

\left[ a_{n}s^{n} + \cdots + a_{2}s^{2} + a_{1}s + a_{0} \right]X_{a}(s) = \left[ b_{0} + b_{1}s + b_{2}s^{2} + \cdots + b_{m}s^{m} \right]X_{e}(s)

Das Bilden des Quotienten aus Ausgangs- und Eingangssignal im Bildbereich wird Übertragungsfunktion G(s) genannt.

G(s) = \frac{X_{a}(s)}{X_{e}s} = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_{m}s^{m} + \cdots + b_{2}s^{2} + b_{1}s + b_{0}}{a_{n}s^{n} + \cdots + a_{2}s^{2} + a_{1}s + a_{0}} \qquad; \quad m \le n

Es liegt eine gebrochen rationale Funktion vor. Wird die Übertragungsfunktion G(s) mit dem Eingangssignal Xe(s) multipliziert, folgt daraus das Ausgangssignal Xa(s) des Systems:

X_{a}\left(s\right) = G(s)X_{e}(s)

Die Übertragungsfunktion G(s) ist technisch nur realisierbar, wenn der Grad des Nennerpolynoms Y(s) kleiner als der Grad des Zählerpolynoms U(s) (m < n) ist [1].

2 Literaturverzeichnis

  1. ↑ 1,0 1,1 Berger, Manfred: Grundkurs der Regelungstechnik. Books on Demand GmbH, 2001. – ISBN 3-8311-0847-1
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