Laplace-Transformation

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Eine in der Regelungstechnik besonders häufig genutzte Methodik ist die Laplace-Transformation. Sie wurde nach dem französischen Mathematiker Marquis de Laplace (1749 - 1877) benannt. Sie gilt als wichtigstes Hilfsmittel zur Lösung linearer Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Hierbei geht es um die Transformation einer Zeitfunktion in den Bildbereich. Der Bildbereich wird auch als Frequenz-Bereich bezeichnet.

Unter der Voraussetzung, dass es sich um lineare Systeme handelt, hat die Laplace-Transformation verschiedene positive Eigenschaften:

  • Sie wandelt lineare zeitinvariante Differentialgleichungen im Zeitbereich in algebraische Gleichungen mit der Variablen s um.
  • Die Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungen im Zeitbereich wird ohne Anwendung spezieller Lösungsansätze im Bildbereich unmittelbar ersichtlich.
  • Die Faltung zweier Funktionen im Zeitbereich entspricht einer Multiplikation im Bildbereich.
  • Die Differenzierung im Zeitbereich entspricht einer Multiplikation mit der Variablen s im Bildbereich.
  • Die Integration im Zeitbereich entspricht der Multiplikation mit der Variablen s − 1 im Bildbereich.
  • Bei bekannten Polen des Nennerpolynoms der Laplace-Transformierten ist eine einfache Rücktransformation in den Zeitbereich mittels Partialbruchzerlegung möglich.
  • Eine sofortige Rücktransformation ohne Rechenaufwand ist mit Hilfe von Korrespondenztabellen möglich.
Die Laplace-Transformation .
Die Laplace-Transformation [1].

Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation, die eine Zeitfunktion f\left(t\right) umkehrbar eindeutig einer Bildfunktion F\left(s\right) zuordnet. Diese Zuordnung erfolgt über das Laplace-Integral:

F(s) = \int\limits_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt

Abgekürzt wird die Zuordnung vom Zeit- in den Bildbereich wie folgt geschrieben:

F(s) = L \left[ f(t) \right]

Bei der Berechnung wird vorausgesetzt, dass die Zeitfunktion f\left(t\right) im Bereich 0 \le t \le \infty definiert ist und eine Konvergenz besteht. Es gilt zu beachten, dass es sich bei der Variablen

s = σ + jω

um einen komplexen Wert handelt [1][2].

Es gibt verschiedene Regeln zur Laplace-Transformation. Im folgenden werden der Differenziationssatz und die beiden Grenzwertsätze vorgestellt, da sie für die Ausführungen zum Thema C-Implementierung einer PID-Roboter-Regelung benötigt werden.

1 Differenziationssatz

Ableitungen der Zeitfunktion f\left(t\right) lauten im Bildbereich

\begin{align} L\left[ f(t) \right] &= F(s)\\[1.5ex] L\left[ \frac{df(t)}{dt} \right] &= sF(s) - f(0)\\[1.5ex] L\left[ \frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}} \right] &= s^{2}F(s) - sf(0) - \stackrel{(1)}{f}(0)\\[1.5ex] L\left[ \frac{d^{n}f(t)}{dt^{n}} \right] &= s^{n}F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}\stackrel{(1)}{f}(0) - \cdots - \stackrel{(n-1)}{f}(0) \quad, \end{align}

wobei \stackrel{(n-1)}{f}(0) die n − 1 Anfangswerte der Funktion f\left(t\right) sind. Sind alle Anfangsbedingungen gleich Null, so gilt [1]:

L\left[ \stackrel{(n)}{f}(t) \right] = s^{n}F(s)

2 Grenzwertsätze

Bei der Anwendung der Grenzwertsätze ist zu beachten, dass die Funktion f\left(t\right) über Grenzwerte im Zeitbereich verfügt [1].

2.1 Anfangswertsatz

\lim_{t\rightarrow 0} f(t) = \lim_{s\rightarrow \infty} F(s)s

2.2 Endwertsatz

\lim_{t\rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s\rightarrow 0} F(s)s


3 Literaturverzeichnis

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Berger, Manfred: Grundkurs der Regelungstechnik. Books on Demand GmbH, 2001. – ISBN 3-8311-0847-1
  2. ↑ Unbehauen, Heinz: Regelungstechnik I. Friedr. Vieweg & Sohn Verlag, 1997 (9. Auflage). – ISBN 3-528-83332-7
Von „http://winfwiki.wi-fom.de/index.php/Laplace-Transformation“
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